]> A Saga do Somatório dos Termos de uma PA

Domingo, dia 28 de novembro de 2004, prestei vestibular para o curso de Engenharia da Computação do UNICEUB para o primeiro semestre de 2005. Não achei nada difícil. Olha que não sou nenhum cabeção e dediquei todo o tempo que tinha para estudar para o vestibular, ou seja, não estudei nada! Fui bem em inglês e estudos sociais. Usei quase todo o tempo que tinha para realizar a prova, entregando-a nos últimos quinze minutos de um total de quatro horas.

A questão que despendeu mais tempo, foi um simples somatório de uma PA - progressão aritmética. Explico: eu não me recordo de como se resolve uma PA... Portanto, para resolver essa questão, demorei quase uma hora! Cara, sou burro! Mas, sou também um burro persistente... (ou seja, sou mais burro ainda?!). No final, acabei conseguindo chegar a resposta certa. Para isso tiver que fazer uma avaliação geométrica da questão. É este estudo que fiz durante a prova que pretendo expor aqui.

Neste artigo (se é que posso chamar isso de artigo...) irei utilizar MathML para representar as formúlas matemáticas . Portanto, para que você possa visualizar este artigo corretamente, será necessário o uso plugins ou o webbrowser Firefox que já tem suporte a MathML. Se não tiver, instale os seguintes plugins para o Internet Explorer:

Segue o enunciado da questão original e suas possíveis respostas conforme o teste:

"Um agricultor colhe laranjas durante 12 dias, da seguinte maneira: no primeiro dia são colhidas 10 dúzias; no segundo, 16 dúzias; no terceiro, 22 dúzias, e assim por diante. Ao final dos 12 dias ele colherá, no total,"

a) 76 laranjas
b) 516 laranjas
c) 12.384 laranjas
d) 6.192 laranjas
c) 912 laranjas

Resolução

Se você entende o enunciado, mas ignora os princípios de PA, a forma trivial de se chegar ao resultado é somando seis a cada termo anterior, de modo que ao final tenha-se um total de doze termos. Em seguida, soma-se cada um dos termos. Note que a cada dia colhe-se 6 dúzias a mais que o dia anterior, ou seja, em termos matemáticos diz-se que a razão da PA é de 6.
Dia
Progressão
Valor
1º
10
10
2º
10+6
16
3º
10+6+6
22
4º
10+6+6+6
28
5º
10+6+6+6+6
34
6º
10+6+6+6+6+6
40
7º
10+6+6+6+6+6+6
46
8º
10+6+6+6+6+6+6+6
52
9º
10+6+6+6+6+6+6+6+6
58
10º
10+6+6+6+6+6+6+6+6+6
64
11º
10+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6
70
12º
10+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6+6
76
Repare que a razão da progressão é de 6
516

Chamemos:

Perceba que a mesma tabela acima poderia ser escrita dessa forma:
Dia Progressão
1º
0x + a = 0 × 6 + 10 = 10
2º
1x + a = 1 × 6 + 10 = 16
3º
2x + a = 2 × 6 + 10 = 22
4º
3x + a = 3 × 6 + 10 = 28
5º
4x + a = 4 × 6 + 10 = 34
6º
5x + a = 5 × 6 + 10 = 40
7º
6x + a = 6 × 6 + 10 = 46
8º
7x + a = 7 × 6 + 10 = 52
9º
8x + a = 8 × 6 + 10 = 58
10º
9x + a = 9 × 6 + 10 = 64
11º
10x + a = 10 × 6 + 10 = 70
12º
11x + a = 11 × 6 + 10 = 76
A soma dos termos resulta: 516
A soma dos termos de uma PA finita pode ser escrita na forma de um somatório:
∑ 1 n ( n - 1 ) x + a

Se você for programador e não for bom de matemática, talvez você desejasse fazer um programinha trivial para obter a soma dos termos da PA. Talvez fizesse:
Em VBScript: 

Dim ValorInicial, Periodo, Razao
ValorInicial = CLng( InputBox("Informe o valor inicial",, 10) )
Razao = CLng( InputBox("Informe a razão da PA",, 6) )
Periodo = CLng( InputBox("Informe o período (quantidade de termos da PA)",, 12) )
Periodo = Periodo - 1

Dim i, prog, Total
prog = ValorInicial
For i = 0 to Periodo
  Total = Total + prog
  prog = prog + Razao
Next

MsgBox "O resultado é: " & Total

Como eu não tinha um computador em mãos - na verdade até tinha meu iPAQ, mas tive que deixá-lo com o agente - tive que fazê-lo de outra forma. Intuitivamente optei por fazer uma análise geométrica. Acompanhe o raciocínio abaixo:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
10
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
10
6
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
10
6
6
6
 
 
 
 
 
 
 
 
5
10
6
6
6
6
 
 
 
 
 
 
 
6
10
6
6
6
6
6
 
 
 
 
 
 
7
10
6
6
6
6
6
6
 
 
 
 
 
8
10
6
6
6
6
6
6
6
 
 
 
 
9
10
6
6
6
6
6
6
6
6
 
 
 
10
10
6
6
6
6
6
6
6
6
6
 
 
11
10
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
 
12
10
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
Note que a parte colorida da tabela ao lado forma um quadrado de largura 12×12.
Repare também que 12 vezes se repete o número 10, o que equivale a: 12×10=120.
(1 de 4)

Conclusão...

Encontrado o valor das dúzias, marquei a resposta. Crente que tinha acertado a resposta, chego em casa, vou escrever isto e descubro que a resposta não era para ser dada em dúzias e sim em número de laranjas. O quer daria 516×12=6192. Bem, errei a questão... mas passei no vestibular!
Se conseguir arranjar dinheiro para pagar a matrícula, estarei cursando no ano que vem Engenharia da Computação.